Question

高中数学题目x)

高中数学题目x)定义在区间（0,+∞）上的函数f(x)满足，nf(x)<xf′(x)<(n+1)f(x)(n属于正整数）恒成立，且4<f(2)/f(1)<8,则n=
A 1 B 2 C3 D4

Answer 1

【答案】B

【解析】
设g(x)=f(x)/x^n
则g'(x)=[xf'(x)-nf(x)]/x^(n+1)
依题意，在(0，+∞)内
g'(x)＞0
∴g(x)单调递增。
∴g(2)＞g(1)
∴f(2)/f(1)＞2^n
∴2^n≥4
∴n≥2

设h(x)=f(x)/x^(n+1)
则h'(x)=[xf'(x)-(n+1)f(x)]/x^(n+2)
依题意，在(0，+∞)内
h'(x)＜0
∴h(x)单调递增。
∴h(2)＞h(1)
∴f(2)/f(1)＜2^(n+1)
∴2^(n+1)≤8
∴n≤2

综上，n=2