Question

函数是什么

Answer 1

Answer 2

函数到底是什麼呢？最早的想法认为：一个函数是一个代数式子，只含变数以及加减乘除开方等符号，渐渐地，所谓超越（代数的）函数，如 $\sin x$、$\log x$、ax 等等地加了进来，加上种种曲线的研究，现在所谓的初等函数，在十八世纪上半叶就已经非常清楚了。

函数观念的演变史

文艺复兴以后，西方的科学观，可以 Galileo Galilei（1564～1642年）的看法为代表。他认为大自然是依数学方式建构的，人只要掌握各种现象的基本数学关系，就可以靠数学加以推演。将自然科学数量化，寻求其间的数学关系并加以推演，就成了研究自然科学的新方法。科学革命对数学的影响之一就是促使函数观念渐趋成熟；当然，函数观念的成熟也使科学研究带来许多方便。

Galilei 研究落体运动，发现「物体在空中下降的距离（从静止开始计算）与所经过时间的平方成正比」、「物体从高度固定的斜板滑落所需的时间与斜板的长度成正比」。也就是说他发现了距离与时间或时间与长度之间的数学关系。距离随时间而变或时间随长度而变，用现在的说法就是：距离是时间的函数或时间是长度的函数。研究运动也引出更多的曲线——点动成曲线，而曲线和函数之间，也经由解析几何的引入，变得不可分离。

用坐标的方法研究曲线，就是把曲线以 x、y 的关系式表示，然后用代数的方法加以处理。反过来，如果采取 Fermat 式的解析几何观，从任何一个 x、y 的关系式出发，探讨它所代表的曲线的几何性质，那麼函数观念的重要性更显而易见了，因为 x、y 之间的关系常以函数的方法出现。

函数到底是什麼呢？最早的想法认为：一个函数是一个代数式子，只含变数以及加减乘除开方等符号，渐渐地，所谓超越（代数的）函数，如 $\sin x$、$\log x$、ax 等等地加了进来，加上种种曲线的研究，现在所谓的初等函数，在十八世纪上半叶就已经非常清楚了。

为了求得一个函数的导数，Newton（1642～1727年）尽量把函数写成幂级数，譬如，为了求得 $f(x) = x^\alpha$（α 为实数）的导函数，Newton 利用 $(x+h)^\alpha$ 的幂级数

\begin{displaymath} (x+h)^\alpha = x^\alpha + \alpha x^{\alpha-1} h + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^{\alpha-2} h^2 + \cdots \end{displaymath}

而得

\begin{displaymath} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \alpha x^{\alpha-1} + ( \mbox{{\font... ...0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 225}} ) \end{displaymath}

因此当 h 趋近於 0 时，就得

\begin{displaymath} f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \end{displaymath}

到了十八世纪，数学家乾脆认定函数就是幂级数。譬如

\begin{displaymath} f(x)=a_0+a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2+ \cdots \cdots \end{displaymath}

则

\begin{displaymath} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = a_1 + [ \mbox{{\fontfamily{cwM3}... ...0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 225}} ] \end{displaymath}

因此当 x 趋近於 0 时，就得 f'(x0) = a1。由此可以导出：一个函数（幂级数）各项的微分和就是原函数的微分；反过来，一个函数各项的积分和就是原函数的积分。这麼一来，函数的微积分变得非常简单；当然他们忽略了幂级数的收敛问题。

「函数就是幂级数」是十八世纪众所公认的观念，但波动问题的兴起，使得这种观念不时遭到挑战，迫使 Euler（1707～1783年）也承认：最先开始时，弦所成的曲线 y=f(x) 可以是任意的，只要是连续的，但不一定可以用幂级数来表示。到了 Fourier（1768～1830年）研究热传导时，他发现他必须把初期条件函数 f(x) 以三角级数的方式展开：

\begin{displaymath} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx ) \end{displaymath}

而

\begin{eqnarray*} a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx \\ b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx \end{eqnarray*}

根据传统的做法，他原假定 f(x) 为幂级数才能得到这样的表示法，但他注意到an、bn 只不过是函数

\begin{displaymath} \frac{1}{\pi} f(x) \cos nx \; , \; \frac{1}{\pi} f(x) \sin nx \end{displaymath}

的曲线之下的面积而已，所以不管 y=f(x) 是怎样的曲线，an、bn 都可以计算而得。他试了种种的函数 f(x)，求取头几个 an、bn 的值，发现将由此而得的三角级数头几项和所代表的曲线与原来的曲线 y=f(x) 相比较，都相当接近。所以 Fourier 深信「任何」函数 f(x) 都可以表成三角级数之和。

图一

三角级数的兴起引起了函数观念的再检讨。譬如在 $(-\pi, \pi)$ 中，若 y = f(x) = x，那麼 f(x) 的三角级数表示式，因周期性的关系，会将 $(-\pi, \pi)$ 区间内的曲线，在区间外一再重复，如图一所示。也就是说，由许多断线所组成的图形居然可以用一级数来表！既然如此，图一也可以当做一个函数 g(x)，虽然用简单的式子来表时，它需要分段处理：

若 x 在 $[(2n-1)\pi , (2n+1)\pi]$ 之内，则 $g(x) = x-(2n-1)\pi$

推而广之，可以分段用熟知的式子表示者也可以看成函数，在十八世纪时很少人会有这样的认识。

Fourier 宣称「任何」函数都可以表成三角级数之和的看法更值得检讨，因为到底什麼是函数，Fourier 也说不清楚。函数观念的澄清是 Dirichlet（1805～1859年）研究 Fourier 论之后的重要贡献之一。他认为 y=f(x) 是个函数的意思是说：f 是一个规则，它告诉我们说，变数 x 之值固定了，其相应唯一的 y 值是什麼。f 不一定要是个式子，它只要能说清楚 x 到 y 之间的对应是什麼就好了。有了 Dirichlet 的函数观念，数学家才能谈什麼时候 an、bn 之值可以确定，什麼相对应的三角级数在特定的区间内和原来的函数是一致的。

虽然 Dirichlet 有了函数最一般的定义，通常我们总希望用式子来表示一个函数所提供的规则。但什麼是式子呢？譬如，我们都承认 f(x)=x2+x+1 是个式子；其实它代表一段叙述，告诉我们函数对应的规则：把变数 x 自乘，加上变数本身，再加上 1，就是变数对应的 y 值。只因我们太习惯多项式所代表的意义，所以认为它是个式子，而不认为它代表的是一段叙述。再如 $f(x)=\sin x$ 也是一样，初学的人认为它代表一段叙述，但习焉不察后就成了式子。f(x) = [x] 代表不超过 x 的最大整数，更是一个明显的例子。除了多项式、幂级数、三角级数外，更一般的函数项级数，譬如以 Bessel 函数或 Legendre 多项式为通项的级数，都可以看成式子。

除了「明」的式子外，还有些「暗」的式子。暗的式子指的是以参数函数、隐函数、微分方程式、积分方程式等来表示自变数 x 与他变数 y 之间的数学关系。怎样化暗为明自然是最重要的课题之一。

式子之外，函数最常以曲线的形式出现。当然，每当有曲线出现，数学家总是想办法把它量化，以式子的形式表示，好方便研究。譬如行星运行的轨道，是个椭圆其（隐）函数为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。譬如两电线杆之间的电线所成的曲线（见图二），称为悬垂线。我们发现物理的观点，坐标之间的关系可以用微分方程式表示；解了此方程式，就得悬垂线的函数为

\begin{displaymath} y=\frac{a (e^{x/a} + e^{-x/a})}{2} \end{displaymath}

图二

又譬如小提琴声波呈现规则而复杂的形状（见图三），它可以表成一三角级数。

图三

当然并不是每条曲线都能找到适当的式子。譬如如某地的气温变化曲线，患病者的脑波（见图四）等等这些太不规则的曲线恐怕就很难用式子表示。

图四

Dirichlet 曾经考虑过有理数的特徵函数，它在有理数时取值为 1，否则为 0。这样的函数根本无法用图形来表示。

Weierstrass（1815～1897年）曾经提出一个级数函数

\begin{displaymath} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b^n \cos (a^n \pi x), \; a \mbox... ...ries{m}\selectfont \char 98}}, 0<b<1, ab > 1 + \frac{3}{2} \pi \end{displaymath}

它是个连续的，但到处不可微分的函数。用曲线的观点来看，它是个连续不断，一整条的，但又到处没有切线的曲线。这样的曲线是用图画不出来的。别以为这是古怪的曲线，Wiener（18944～1964年）证明：几乎所有的分子的 Brown 运动的路径都是连续而到处没有切线的。

Dirichlet 的函数观不但包含已往种种的函数，提供了许许多多新鲜有趣、有用的例子，而且也因为函数观念的确定，使得数学家能够讨论函数的连续、微分、积分等种种有关的性质。经过几世纪的发展，函数成为数学中最基本的观念之一，同时也是科学数量化的主要工具。

注： Leibniz 在1673年首先提到函数 (function) 这个字眼，他指的是跟随一曲线上的点而变动的量，譬如切线长、法线长、次切线、纵坐标等等。f(x) 做为一般函数的符号是1734年 Euler 首先采用的。

Answer 3

函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

概念

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

Answer 4

函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。

函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。 

单调性：

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

Answer 5

在某个变化过程中,有两个变量X和Y,如果给定一个X值,相应地就确定了一个Y值,我们称Y是X的函数,其中X是自变量,Y是因变量.