Question

请教高中数学题中的最基本的三角函数证明题

对任意的角α，证明 sin(π/2-α)=cos α　成立；
对任意的角α，证明 sin 2α= 2 sin α cos a 成立；
对任意的角α、β，证明 sin(α+β)=sin α cos β + cos α sin β 成立；
对任意的角α、β，证明 sin α + sin β = 2 sin [(α+β)/2] cos[(α-β)/2] 成立 .

Answer 1

第一个是用单位圆来证明的，你画一个半径为1的圆，自然就可以看出来了
然后证第三个，
把α、β两个角并在一起。顶点为O，公共边是OB，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C。
则有
S△OAC=S△OAB+S△OBC
根据三角形面积公式，有
sin(α+β)*OA*OC/2=AB*OB/2+BC*OB/2
sin(α+β)*OA*OC=AB*OB+BC*OB
∵OB=cosα*OA=cosβ*OC
AB=sinα*OA
BC=sinβ*OC
∴sin(α+β)*OA*OC=sinα*OA*cosβ*OC+sinβ*OC*cosα*OA
又∵OA*OC≠0
∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα
第二个是第三个的特殊情况，让α=β就可以得到了
第四个也可以利用第三个来推导，让α=(α+β)/2+(α-β)/2，β=(α+β)/2-(α-β)/2，就可以了

追问

你对第一问的证明只能证出为α锐角的情况下，当α为钝角甚至大于180度的角的情况没证；
对第三问我正在看中，估计也没注意到α、β为任意的角吧？

追答

第一问，α是锐角时候证明以后，钝角的利用正弦余弦的性质来处理，sin(π/2-α)=-sin(α-π/2)=-cos[π/2-(α-π/2)]=-cos(π-α)=cosα
第三问一样，先把锐角的证明出来，其他的再利用锐角的公式进行再处理就好了

追问

第一问这样说明可行，第三问好像不行，不然你具体说明一下，钝角时第三问的推导吧？

追答

设α是钝角，sin(α+β)=cos(α+β-π/2)=cos[(α-π/2)+β]=sinα cosβ + cosα sinβ
若都是钝角，sin(α+β)=-sin[2π-(α+β)]=-sin[(π-α)+(π-β)]=sinα cosβ + cosα sinβ

Answer 2

第一个是用单位圆来证明的，你画一个半径为1的圆，自然就可以看出来了
然后证第三个，
把α、β两个角并在一起。顶点为O，公共边是OB，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C。
则有
S△OAC=S△OAB+S△OBC
根据三角形面积公式，有
sin(α+β)*OA*OC/2=AB*OB/2+BC*OB/2
sin(α+β)*OA*OC=AB*OB+BC*OB
∵OB=cosα*OA=cosβ*OC
AB=sinα*OA
BC=sinβ*OC
∴sin(α+β)*OA*OC=sinα*OA*cosβ*OC+sinβ*OC*cosα*OA
又∵OA*OC≠0
∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα
第二个是第三个的特殊情况，让α=β就可以得到了
第四个也可以利用第三个来推导，让α=(α+β)/2+(α-β)/2，β=(α+β)/2-(α-β)/2，就可以了

追问

你抄袭呀？