Question

如图,在三角形ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BF:AF=m:n

如图,在三角形ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BF:AF=m:n（m、n>0），取CF的中点D,连接AD并延长交BC于点E。（1）求BE：EC的值。（2）若BE=2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论。（3）E点能否成为BC的中点？若能，求出相应的m：n，若不能，证明你的结论。

Answer 1

解:(1)延长AD到G,使DG=DA,连接CG.
又CD=DF,∠CDG=∠DFA,则:⊿CDG≌ΔDFA(SAS0,得CG=AF;∠CGD=∠FAD.
∴AF∥CG,故BE:EC=AB:CG=AB:AF;
∵BF:AF=m:n,则AB:AF=(m+n):n.
∴AB:AF=(m+n):n.
(2)AF∥CG,则AB/CG=BE/EC;
若BE=2EC,则AB=2CG=2AF,即点F为AB的中点,CF所在的直线与边AB相交且平分AB.
(若⊿ABC为等边三角形,CA=CB,则有CF垂直平分AB)
(3)点E不能成为BC的中点.
证明:若点E为BC的中点,即BE=EC.则:BE/EC=AB/CG=1,则AB/AF=1.
即此时点F与B重合,故m=0,与已知条件"m>0"矛盾,所以点E不能成为BC的中点.