线性代数。一道题。证明线性无关! 要具体过程。
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证明:
假设命题不对,即α1,α2,α3,β1+β2线性相关,
则由线性相关的定义,存在不全为0的a、b、c、d使得
aα1+bα2+cα3+d(β1+β2)=0
若d=0,则aα1+bα2+cα3=0,则α1,α2,α3线性相关,与题设中α1,α2,α3线性无关矛盾
故β2=(a/d)α1+(b/d)α2+(c/d)α3-β1
由已知,β1可由α1,α2,α3线性表示,即存在e,f,g使得
β1=eα1+fα2+gα3
故β2 = (a/d)α1+(b/d)α2+(c/d)α3-β1
= (a/d)α1+(b/d)α2+(c/d)α3 - (eα1+fα2+gα3)
= (a/d-e)α1+(b/d-f)α2+(c/d-g)α3
即β2可由α1,α2,α3线性表示,与题设中β2不可由α1,α2,α3线性表示矛盾
故假设不对,故原命题成立
假设命题不对,即α1,α2,α3,β1+β2线性相关,
则由线性相关的定义,存在不全为0的a、b、c、d使得
aα1+bα2+cα3+d(β1+β2)=0
若d=0,则aα1+bα2+cα3=0,则α1,α2,α3线性相关,与题设中α1,α2,α3线性无关矛盾
故β2=(a/d)α1+(b/d)α2+(c/d)α3-β1
由已知,β1可由α1,α2,α3线性表示,即存在e,f,g使得
β1=eα1+fα2+gα3
故β2 = (a/d)α1+(b/d)α2+(c/d)α3-β1
= (a/d)α1+(b/d)α2+(c/d)α3 - (eα1+fα2+gα3)
= (a/d-e)α1+(b/d-f)α2+(c/d-g)α3
即β2可由α1,α2,α3线性表示,与题设中β2不可由α1,α2,α3线性表示矛盾
故假设不对,故原命题成立
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