Question

多元函数取极值的条件是什么？

Answer 1

设函数z=f(x,y)在点（x.,y.）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x.,y.）,fy(x.,y.）=0,令

fxx(x.,y.)=A,fxy=(x.,y.）=B,fyy=(x.,y.）=C

则f(x,y)在（x.,y.）处是否取得极值的条件是

（1）AC-B*B>0时有极值

（2）AC-B*B

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。

扩展资料

多元函数的本质是一种关系，是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵等等。

人们最常见的函数，以及目前我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。

极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。

“极大值” 和 “极小值”的统称。如果函数在某点的 值大于或等于在该点附近任何其他 点的函数值，则称函数在该点的值 为函数的“极大值”。

Answer 2

多元函数取极值的条件是：

各个分量的偏导数为0，这是一个必要条件。充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的，那么这时不是极值点。

以二元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。,y。）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x。,y。）,fy(x。,y。）=0,令
fxx(x。,y。)=A,fxy=(x。,y。）=B,fyy=(x。,y。）=C
则f(x,y)在（x。,y。）处是否取得极值的条件是
（1）AC-B*B>0时有极值
（2）AC-B*B<0时没有极值
（3）AC-B*B=0时可能有极值，也有可能没有极值

如果是n元函数需要用行列式表示。如果是条件极值，那么更复杂一些。

Answer 3

各个分量的偏导数为0，这是一个必要条件。充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的，那么这时不是极值点。
以二元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。,y。）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x。,y。）,fy(x。,y。）=0,令
fxx(x。,y。)=A,fxy=(x。,y。）=B,fyy=(x。,y。）=C
则f(x,y)在（x。,y。）处是否取得极值的条件是
（1）AC-B*B>0时有极值
（2）AC-B*B<0时没有极值
（3）AC-B*B=0时可能有极值，也有可能没有极值

如果是n元函数需要用行列式表示。估计你也没学行列式呢。
如果是条件极值，那么更复杂一些。
大一的时候数学分析讲的，网上不好找到教材，建议你看一下大学课本。
如果需要我可以发给你pdf。