Question

急急急，数学求助

已知函数f(x)=(根号x)-1/x,证明满足等式f(x)=1的实数x的值至多只有一个

Answer 1

函数f(x)的定义域是(0,+∞)

方程f(x)=1为:√x=1+1/x

设g(x)=√x,h(x)=1+1/x,x∈(0,+∞)

g(x)为增函数,h(x)为减函数

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(A) g(2)<h(2),g(3)>h(3)

那么g(x)=h(x)在(2,3)内有一个实数根....(存在性)

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(B) 假设存在m>n>0,使得g(m)=h(m),g(n)=h(n)

因h(x)为减函数

那么g(m)=h(m)<h(n)=g(n),得出g(m)<g(n)与g(x)是增函数矛盾

因g(x)为增函数

那么h(m)=g(m)>g(n)=h(n),得出h(m)>h(n)与h(x)是减函数矛盾

所以假设不成立......(唯一性)

则g(x)=h(x)有且只有一个实数根

即f(x)=1有且只有一个实数根

Answer 2

为使f(x)在实数范围内有意义，可知函数f(x)的定义域是x>=1或-1=<x<0
f(x)=1可解的有两个根为:x1=0.5+sqrt5/2 和 x2=0.5-sqrt5/2
而x1>1,x2<-1
x2不在定义域内，舍去
x1为上方程的根，从而f(x)=1的实数x的值至多只有一个

Answer 3

lz烧饼

Answer 4

f(x)=√x-1/x 所以x＞0
在0到正无穷内
f(x)=√x 单调增
f(x)=1/x 单调减
所以f(x)=√x-1/x 为单调增函数
那么满足等式f(x)=1的实数x的值至多只有一个

Answer 5

这种题目最简单的方法就是采用图像法，看交点的个数。
本题分别做出函数f(x)=根号x ，g(x)=1+1/x 的图像，由图像知道，显然交点最多只有一个。