Question

指数函数y=1/2^X-1的值域是多少

Answer 1

解法一:反函数

y=(1/2)^[(x-1)/(x+1)]
log<1/2>y=(x-1)/(x+1)
xlog<1/2>y+log<1/2>=x-1
x(1-log<1/2>y)=1+log<1/2>y
x=(1+log<1/2>y)/(1-log<1/2>y)

反函数y=(1+log<1/2>x)/(1-log<1/2>x)
反函数的定义域(0,1/2)∪(1/2,+∞)

反函数的定义域即原函数的值域
y的值域(0,1/2)∪(1/2,+∞)

解法二:极限

y的定义域(-∞,-1)∪(-1,+∞)

y=(1/2)^[(x-1)/(x+1)]
=2^[-(x-1)/(x+1)
=2^{[2-(x+1)]/(x+1)}
=2^[2/(x+1)-1]
=2^[2/(x+1)]/2

判断单调性
x↗,x+1↗,2/(x+1)↘,2^[2/(x+1)]/2↘即x↗,y↘
y=在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递减,判断定义域四个端点上y值的极限可得y的值域

当x→-∞时,(x-1)/(x+1)→1+,y→1/2-
当x→-1-时,(x-1)/(x+1)→+∞,y→0+
y在(-∞,-1)上的值域是(0,1/2)
当x→-1+时,(x-1)/(x+1)→-∞,y→+∞
当x→+∞时,(x-1)/(x+1)→1-,y→1/2+
y在(-1,+∞)上的值域是(1/2,+∞)

y的值域(0,1/2)∪(1/2,+∞)

Answer 2

一:反函数

y=(1/2)^[(x-1)/(x+1)]
log<1/2>y=(x-1)/(x+1)
xlog<1/2>y+log<1/2>=x-1
x(1-log<1/2>y)=1+log<1/2>y
x=(1+log<1/2>y)/(1-log<1/2>y)

反函数y=(1+log<1/2>x)/(1-log<1/2>x)
反函数的定义域(0,1/2)∪(1/2,+∞)

反函数的定义域即原函数的值域
y的值域(0,1/2)∪(1/2,+∞)
.....................................................................................

极限

y的定义域(-∞,-1)∪(-1,+∞)

y=(1/2)^[(x-1)/(x+1)]
=2^[-(x-1)/(x+1)
=2^{[2-(x+1)]/(x+1)}
=2^[2/(x+1)-1]
=2^[2/(x+1)]/2

判断单调性
x↗,x+1↗,2/(x+1)↘,2^[2/(x+1)]/2↘即x↗,y↘
y=在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递减,判断定义域四个端点上y值的极限可得y的值域

当x→-∞时,(x-1)/(x+1)→1+,y→1/2-
当x→-1-时,(x-1)/(x+1)→+∞,y→0+
y在(-∞,-1)上的值域是(0,1/2)
当x→-1+时,(x-1)/(x+1)→-∞,y→+∞
当x→+∞时,(x-1)/(x+1)→1-,y→1/2+
y在(-1,+∞)上的值域是(1/2,+∞)

y的值域(0,1/2)∪(1/2,+∞)

懂了吗？

Answer 3

（-，+无穷大）