Question

在平面直角坐标系xoy中,点P是第一象限内曲线y=-x^2+1上的一个动点

在平面直角坐标系xoy中,点P是第一象限内曲线y=-x^2+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于AB两点，则三角形AOB的面积的最小值为多少

Answer 1

解：设点P(a,b),k为切线斜率，所以切线L：（y-b)=k(x-a) (y=kx-ak+b)a>0,b>0
因为是切线，所以L与抛物线只有一个交点，令y=-x^2+1 ,△=0,解得k=-2a
y=kx-ak+b且k<0
b=-a^2+1
所以y=-2ax+2a^2+b(b=-a^2+1)
L在x轴上的截距为a+b/2a,在y轴上的截距为2a^2+b
所以S△AOB=(a+b/2a)·(2a^2+b)/2=。。。。（自己求）（这些是思路）

Answer 2

解：
切线方程为： y=-2Xp*(x-Xp)+Yp， 1>Xp>0,1>Yp>0

与坐标轴的交点为：(0,2Xp^2+Yp)，((2Xp^2+Yp)/(2*Xp),0)
因为Xp^2+Yp=1
与坐标轴的交点为：(0,1+Xp^2)，((1+Xp^2)/(2*Xp),0)

面积=(1+Xp^2)*[(1+Xp^2)/(2*Xp)]/2
=(1+Xp^2)^2/(4Xp)
=(1/4)*(1/Xp+2Xp+Xp^3)

f'=(1/4)*(-1/Xp^2+2+3Xp^2)=0
Xp=√3/3时取得最小值
面积的最小值为4√3/9