Question

matlab中用最小二乘法拟合直线怎么做？

Answer 1

最小二乘法，通常用在我们已知数学模型，但是不知道模型参数的情况下，通过实测数据，计算数学模型，例如，在题目中，数学模型就是直线方程y=ax+b，但是不知道直线方程的a和b。

本来呢，我们只需要两组（xi,yi），就可以解得a和b，但是由于实测数据都存在误差，所以，我们很容易想到一个办法，我们测很多组数据来让我的a和b更加准确。

• 数学模型如下：

• F=ax+b-y
  

• 那么对于模型上的点(注意是模型上的点，也就是理论值)，F=ax+b-y=0
  

• 但是对于实际值来说，F=axi+b-yi 一定不等于0。那么我们就要找到一对a和b，使得F尽可能接近于0。

• 也就是说，“偏离量总和最小”这个概念，在数学上实际上就是要求F的方差最小。

• 即 Σ F^2→0 （F的平方和趋近于0）

• 即 Σ(axi+b-yi)^2→0

• 那么我们得到一个方程f(a,b)=Σ(axi+b-yi)^2，我们要找到合适的a,b使得f(a,b)最小！ 也就是说，我们要找到的实际上是f(a,b)的最小值点。（因为方差不可能小于0） 因此我们需要求f(a,b)的极值点。我们借助数学工具偏导。 如果有一组a,b使得 ∂f(a,b)/∂a=0

• ∂f(a,b)/∂b=0

• 那么f(a,b)就是极值点，如果a,b只有一对，那么它就是最小值点。 即  ∂( Σ(axi+b-yi)^2 )/∂a=0

• ∂( Σ(axi+b-yi)^2 )/∂b=0 化简得到

• a*Σxi^2 + b*Σxi = Σ(xi*yi)

• a*Σxi + b*N = Σyi

• 其中N是(xi,yi)的个数。即我们测了多少组数据

• 解上面的二元方程，我们就可以得到唯一的一组a,b啦，这就是我们所需要的a和b

Answer 2

用polyfit函数，（用来多项式拟合的，是用最小二乘法）

举个例子
x=[90 91 92 93 94 95 96];
z=[70 122 144 152 174 196 202];
a=polyfit(x,z,1)

结果：

a =
1.0e+03 *
0.0205 -1.7551
1表示1次多项式（一次时就是直线，适用于你的情况）
a是多项式的系数向量，是从高次项往低次项排的，
如果想运用结果，比如想知道当x=97时z等于多少
那么有两种方法，
直接用系数

>> a(1)*97+a(2)
ans =
233.4286
或者用polyval函数
>> polyval(a,97)
ans =
233.4286