Question

如图,已知圆O1与圆O2相交于A,B两点,过点A作圆O1的切线,交圆O2于点C,过点B作两圆的割线

如图,已知圆O1与圆O2相交于A,B两点,过点A作圆O1的切线,交圆O2于点C,过点B作两圆的割线分别交圆O1,O2于,E ,DE与AC相交于点P
求证:PA*PE=PC*PD
当AD与圆O2相切，且PA=6,PC=2,PD=12，求AD的长

Answer 1

第一个问题：
∵PA切⊙O1于A，∴∠BAC＝∠ADE。
∵A、B、C、E共圆，∴∠BAC＝∠CED。
由∠BAC＝∠ADE、∠BAC＝∠CED，得：∠ADE＝∠CED，∴AD∥EC，∴PA/PC＝PD/PE，
∴PA×PE＝PC×PD。

第二个问题：
由第一个问题的结论，有：PA×PE＝PC×PD，∴6PE＝2×12，∴PE＝4。
由相交弦定理，有：PB×PE＝PA×PC，∴4PB＝6×2，∴PB＝3，∴BD＝PD－PB＝12－3＝9。
又DE＝PD＋PE＝12＋4＝16。
∴由切割线定理，有：AD^2＝BD×DE＝9×16，∴AD＝3×4＝12。