Question

设f（x）在[a,b]上有二阶连续导数，又f（a）=f'(a)=0。求证：

这道题能不能用泰勒公式来证明？能的话可否写完整过程？

Answer 1

解：分享一种证法，应用分部积分法求证。
∵∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(x)d(x-b)=(x-b)f(x)丨(x=a,b)-∫(a,b)(x-b)f'(x)dx=-∫(a,b)(x-b)f'(x)dx，
而，∫(a,b)(x-b)f'(x)dx=∫(a,b)(x-b)f'(x)d(x-b)=(1/2)(x-b)²f'(x)丨(x=a,b)-(1/2)∫(a,b)(x-b)²f''(x)dx=-(1/2)∫(a,b)(x-b)²f''(x)dx。
∴∫(a,b)f(x)dx=(1/2)∫(a,b)(x-b)²f''(x)dx 成立。
供参考。

追问

分部积分法我会，我想知道的是：这证明类的题目，出现二阶以上导数的条件，能否用泰勒公式来解决？

追答

因题设条件中，只说明了有”二阶连续导数”；结合其它条件，也不能确定f(x)的性质及三阶以上导数存在与否或具连续性与否。故，认为不能用泰勒公式求解。