Question

二阶矩阵的特征值和特征向量的求法是什么？

Answer 1

1、设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值。

2、设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

扩展资料：

描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0。

函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。

一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。 反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。

所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。

Answer 2

|A-xE|
=
2-x 3
2 1-x
=(2-x)(1-x)-6
=x^2-3x-4
=(x+1)(x-4)
所以特征值是-1,4
-1对应的特征向量：
(A+E)x=0的系数矩阵为
3 3
2 2
基础解系为[-1 1]'，
所以-1对应的特征向量为[-1 1]'

4对应的特征向量：
(A-4E)x=0的系数矩阵为
-2 3
2 -3
基础解系为[3 2]'
所以4对应的特征向量为[3 2]'