Question

设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+3)*f(x)=-1,f(-1)=2,则f(2011)=?

Answer 1

解：∵f(x+3)*f(x)=-1 ......(1)
∴f(-x+3)*f(-x)=-1
f(3-x)f(x)=1 ..........(2)
式(1)+(2)得
[f(x+3)+f(3-x)]f(x)=0
∵f(x)不恒为0
∴f(x+3)+f(3-x)=0
即f(x+3)=-f(3-x)=f(x-3)
f(x)=f(x+6)
即f(x)是以6为周期的周期函数
∴f(2011)=f(6*335+1)=f(1)=-f(-1)=-2

Answer 2

f(x)*f(x+3)= -1
f(x)= -1/f(x+3) 所以 f(x+3)= -1/f(x+6)
f(x)=f(x+6) 即周期为6
又f(x)为奇函数，所以f(1)= -f(-1)= -2
所以f(2011)=f(1+2010)= f(1+6*335)=f(1)= -2