Question

请教考研高数关于积分的问题，谢谢啦

设f(x)是R上连续的奇函数，且单调增加，F(x)=∫ (2t-x)f(x-t)dt (下线是0，上线是x)

问F(x)是怎样的函数。（答案是单调减少的奇函数）

中间有一步骤我和答案做的不一样，始终差一个负号，大家帮我看看我错哪

了。

解：对被积函数做变量替换，令，u=x-t 则du=-dt

2t-x= 2t-x-x+x=x-2u

t属于（0，x）则-t属于（-x,0）那么x-t属于（0，x）即，u属于（0，x）

F(x)=∫ (2t-x)f(x-t)dt =-∫(x-2u)f(u)du（下线是0，上线是x)

可是答案在这一步骤是∫(x-2u)f(u)du（下线是0，上线是x)
请问大家，我那块做错了，帮着看一下，为什么我差了一个负号。

Answer 1

令u=x-t，则上限变为0，下限变为x，
u是属于（0，x）没错，但上下限反了，所以相差一个负号。

追问

我没看明白，t属于（0，x）则-t属于（-x,0）那么x-t属于（0，x）即，u属于（0，x）
我这么做马错啦。详细点好吗？

什么叫
u是属于（0，x）没错，但上下限反了，所以相差一个负号。什么意思没明白