Question

请教关于考研高数积分的问题，麻烦大家帮帮忙吧

设，f(x)可导，且f（0）=0,F(x)=∫ t^(n-1) f(x^n-t^n)dt (下限是0，上限是x),
求，limF(x)/x^2n (x趋于0时）

下面是我做的请大家帮着看看

解：令，u=x^n-t^n，则，du = - nt^(n-1)dt
t属于（0，x），则t^n属于（0，x^n），-t^n属于（-x^n，0）
则x^n-t^n属于（0，x^n）即u属于（0，x^n）

那么，F(x)=∫ t^(n-1) f(x^n-t^n)dt(下限是0，上限是x)
=-∫1/nf(u）du（下限是0，上限是x^n）

这一步的正确答案是F(x)=∫ t^(n-1) f(x^n-t^n)dt(下限是0，上限是x)
=-∫1/nf(u）du（下限是x^n，上限是0）

也就是和我自己做的差一个负号吧，请问我是哪一步做错了啊，请指教
谢谢啦

Answer 1

令，u=x^n-t^n，则，du = - nt^(n-1)dt
t 属于（0，x）， 则 x^n - t^n 属于（x^n, 0）, 即u属于(x^n, 0)
也就是： 对 t 积分的下限 0， 上限 x
=》对 u 积分的下限 x^n, 上限 0

追问

对 t 积分的下限 0， 上限 x
=》对 u 积分的下限 x^n, 上限 0

具体是怎么得来的，能再详细点吗？
有一步一步的过程吗

追答

你的关键就是上下限搞错了。
换元时，t 从 t1 到 t2 的积分， u = x^n-t^n 应是从x^n - t1^n 到 x^n - t2^n 的积分，
也就是下限--》下限； 上限--》上限， 而不是由小到大。