Question

有一个基础的椭圆解析几何题请教各位大仙

椭圆C：x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2 PF1=4/3 PF2=14/3
问 若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆于A，B。且A，B 关于M对称，求直线线L方程。

PS：我的思路是这样的，先求出椭圆的方程，然后设出直线，与圆联立求解，用韦达定理求出x1+x2.但是y1+y2 怎么求 难道换成y与x的关系重新代入？那也太麻烦了。求简单方法

Answer 1

已知PF1⊥F1F2，|PF1|=4/3,|PF2|=14/3，故
2a=|PF1|+|PF2|=4/3+14/3=6,a=3,
(2c)²=|PF2|²-|PF1|²=20,c²=5
b²=a²-c²=3²-5=4,
所以椭圆C的方程为：x²/9+y²/4=1①

圆x²+y²+4x-2y=0即(x+2)²+(y-1)²=5,M(-2,1),
设过M的直线L：y-1=k(x+2)②，A(x1,y1),B(x2,y2),
①②联立得：
(9k²+4)x²+18k(2k+1)x+9(2k+1)²=0③,
运用韦达定理和中点坐标公式，有
2*(-2)=x1+x2=-18k(2k+1)/(9k²+4),
解得：k=8/9 或 k=0（不合题意，舍去）
所以L：y-1=(8/9)(x+2),即8x-9y+25=0

追问

请问若一直x1+ x2 怎样球 Y1+y2 有简便方法么

追答

有些情况不能简便~~~