Question

f(x)在[-π,π]连续,f(x)=x/[1 cos^2(x)] ∫<-π,π>f(x)sinxdx,求f(x)。跪求高手给个步骤。

f(x)在[-π,π]连续,f(x)=x/[1+ cos^2(x)]+ ∫<-π,π>f(x)sinxdx,求f(x)。跪求高手给个步骤。漏写了个+号。题目请看这里。刚又又少打了个加号 就是不会求∫<-π,π>xsinx/[1 +cos^2(x)]dx

Answer 1

如果你的题目是f(x)=x/[1 +cos^2(x)]+ ∫<-π,π>f(x)sinxdx那么
两边同时乘以sinx得f(x)sinx={x/[1 +cos^2(x)]+ ∫<-π,π>f(x)sinxdx}sinx
令∫<-π,π>f(x)sinxdx=t
->f(x)sinx={x/[1 +cos^2(x)]+ t}sinx两边积分
∫<-π,π>f(x)sinxdx=∫<-π,π>xsinx/[1 +cos^2(x)]dx+∫<-π,π> tsinxdx
即t=∫<-π,π>xsinx/[1 +cos^2(x)]dx+t∫<-π,π> sinxdx
->t=∫<-π,π>xsinx/[1 +cos^2(x)]dx
把t带入原式得
f(x)=x/[1 +cos^2(x)]+ t
如果是f(x)=x/[1 -cos^2(x)]+ ∫<-π,π>f(x)sinxdx方法一样的，而且那个积分还简单点

追问

就是不会求∫xsinx/[1 +cos^2(x)]dx。题目 我又少打了一个加号 是
f(x)=x/[1 +cos^2(x)]+ ∫f(x)sinxdx

追答

t=∫xsinx/[1 +cos^2(x)]dx=π^2/2
不要纠结于过程，这个不是用常规求原函数法积得出来的，化二重积分或者含参积分