Question

一个高数定积分问题

为什么积分区域 D：|x|+|y|≤1，则∫∫dxdy=2
我自己画出这个图形了，
但是我不知道怎么从这个图形中推导出 y 的取值为 0≤y≤1-x，为什么不是 -1≤y≤1-x

Answer 1

积分区域关于 x 轴、y 轴、原点都对称，

因此等于积分在第一象限区域的 4 倍，

在这个区域中，x 从 0 到 1，对每个 x 的值，y 都是从 0 到 1-x （斜线段）。

追问

我看别人为什么说x的取值为-1到1
而且 ∫(0,1)dx∫(0,1-x)dy=1-1/2=1/2 不是吗

追答

如果 x 是从 -1 积到 1，那么 y 就要从 1+x 积到 1-x，并且原式是现在的 2 倍。
最后的式子是正确的，乘以 4 就等于原式 。