Question

已知抛物线Y^2=2PX与椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1有交点(4,12/5),且椭圆长轴为10，（1）求抛物线及椭圆方程

（2）过椭圆右焦点做一直线L垂直于X轴，且交椭圆于AB两点，o为坐标原点，求三角形AOB面积

Answer 1

(1)
把(4,12/5)代入Y²=2PX，得
P=18/25
∴抛物线方程为Y²=36X/25

第一题中没有交代椭圆焦点在哪个轴上，所以要讨论
①焦点在x轴，则2a=10，a=5
x²/25 + y²/b²=1
把(4,12/5)代入，得
b²=16
∴椭圆方程为x²/25 + y²/16=1
②焦点在y轴，则2b=10，b=5
x²/a² + y²/25=1
把(4,12/5)代入，得
a²=10000/481
∴椭圆方程为481x²/10000 + y²/25=1
综上，抛物线方程为Y²=36X/25，椭圆方程为x²/25 + y²/16=1或481x²/10000 + y²/25=1

(2)
这里提到“右焦点”，即焦点在x轴
∴椭圆方程为x²/25 + y²/16=1
当x=c时，y=±b²/a
∴|AB|=2b²/a=32/5
c=3
∴S=|AB|·c/2=48/5