Question

如何推出1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 1

证法一
　　（归纳猜想法）：
　　1、N=1时，1=1（1+1）（2×1+1）/6=1
　　2、N=2时，1+4=2（2+1）（2×2+1）/6=5
　　3、设N=x时，公式成立，即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
　　则当N=x+1时，
　　1+4+9+…+x2+（x+1）2=x(x+1)(2x+1)/6+（x+1）2
　　=（x+1）[2（x2）+x+6（x+1）]/6
　　=（x+1）[2（x2）+7x+6]/6
　　=（x+1）（2x+3）（x+2）/6
　　=（x+1）[（x+1）+1][2（x+1）+1]/6
　　也满足公式
　　4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
证法二
　　(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ：
　　(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
　　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
　　..............................
　　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
　　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
　　把这n个等式两端分别相加，得：
　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
　　代入上式得：
　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
　　整理后得：
　　1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6