Question

已知a,b,c为两两不相等的实数，求证:a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

Answer 1

(a^2+b^2)>2ab
(b^2+c^2)>2bc
(c^2+a^2)>2ca
相加再除以2就得到a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

Answer 2

证明：因为a、b、c两两不相等
所以
a^2+b^2>2ab——式1
b^2+c^2>2bc——式2
c^2+a^2>2ca——式3
所以
式1+式2+式3得：2(a^2+b^2+c^2)>2(ab+bc+ca)
a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

Answer 3

解：2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac=(a^2+b^2-2ab)+ (c^2+a^2-2ac)+(b^2+c^2-2bc)=(a-b)^2+(c-a)^2+(b-c)^2>0
所以2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)>0
得a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

Answer 4

(a^2+b^2)>2ab
(b^2+c^2)>2bc
(c^2+a^2)>2ca
将上面三式相加再除以2就可得
a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca