Question

已知f﹙x﹚＝8＋2x－x²，g﹙x﹚＝f﹙2－x²﹚，求函数g﹙x﹚的单调区间

正确答案是（﹣∞,1]和[1,﹢∞﹚递增,[﹣1,0]和[0,1]递减.,用了换元法,还要注意新变量的定义域，就是没有详解

Answer 1

【解法一】利用复合函数
复合函数的规律：同增异减，即复合函数的子函数同为增函数或减函数，则原函数为增函数，两个子函数是一增一减，则整个函数为减函数。

f(x)=8+2x-x²，开口向下，对称轴为x=1.
令M(x)=2-x^2 , 开口向下，对称轴为x=0.
当x<-1时，
M(x)是增函数，
2-x^2<1,f(x)是增函数，
所以g(x)是增函数。

当0<=x<=1 时，
M(x)是减函数，
2-x^2>1,f(x)是减函数，
所以g(x)是增函数。

当x>1 时，
M(x)是减函数，
2-x^2<1,f(x)是增函数，
所以g(x)是减函数。

当-1<=x<=0 时，
M(x)是增函数，
2-x^2>1,f(x)是减函数，
所以g(x)是减函数。

综上，g(x)在(-∞,-1)，(0,1)上单调递增,在(1,+∞),(-1,0)上单调递减

【解法二】利用导数
依题意得
因为，f(x)=8+2x-x^2,g(x)=f（2-x^2）
所以，g(x)=f（2-x^2)
=8+2（2-x^2)-(2-x^2)^2
=8+4-2x^2-4+4x^2-x^4
=-x^4+2x^2+8
则，g'(x)=-4x^3+4x
=-4x(x^2-1)
令g'(x)>0,即-4x(x^2-1)>0，g(x)单调递增
解得x<-1或0<x<1,
令g'(x)<0,即-4x(x^2-1)<0，g(x)单调递减
解得x>1或-1<x<0.

所以g(x)在(-∞,-1)，(0,1)上单调递增,在(1,+∞),(-1,0)上单调递减