Question

二次函数y=a(a+1)x²-(2a+1)x+1,当a=1,2,3…，n,…时，

二次函数y=a(a+1)x²-(2a+1)x+1,当a=1,2,3…，n,…时，其图像在x轴上截得的弦长依次为d1,d2,…，dn,…，则d1+d2+…+dn为_____

Answer 1

因为y=a(a+1)x²-(2a+1)x+1,
所以
y=(ax-1)((a+1)x-1)=0
x=1/a,或x=1/(a+1)
在x轴上截得的弦长=1/a-1/(a+1)
所以
当a=1,2,3…，n,…时,弦长分别为
1-1/2,1/2-1/3,1/3-1/4,....,1/n-1/(n+1)
从而
d1+d2+…+dn=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)=n/(n+1).

Answer 2

y = a(a+1)x²-(2a+1)x+1 = {(a+1)x-1} {ax-1} = a(a+1) {x-1/(a+1)} {x-1/a}
a≥1
a+1＞a
1/a＞1/(a+1)
图像在x轴上截得的弦长为：d=1/a-1/(a+1)
当a=1,2,3…，n,…时，其图像在x轴上截得的弦长依次为d1,d2,…，dn,…，

d1+d2+…+dn = (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/n-1/(n+1))
= 1 - 1/(n+1)
= n/(n+1)

Answer 3

二次函数在x轴上截得的弦长公式是根号下判别式除以二次项系数绝对值，在此就是1/a(a+1)
d1+d2+…+dn=1/1*2+1/2*3+1/3*4+…1/n(n+1)=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4…+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)

Answer 4

先进行分解化简y=(ax-1)[(a+1)x-1]，算出当y=0时的解为x=1/a或1/（a+1）；然后算出d通项 d=（1/a）-[1/(a+1)]
最后算出d1+d2+…+dn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/n-1/(n+1))= n/(n+1)

Answer 5

首先进行分解化简y=(ax-1)[(a+1)x-1]，得y=0时的解，x=1/a或者1/（a+1）
然后算出d通项d=（1/a）-[1/(a+1)]
最后d1+d2+…+dn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/n-1/(n+1))=1 - 1/(n+1)= n/(n+1)

Answer 6

化简后y=(ax-1)[(a+1)x-1]
所以d1=1-1/2 , d2=1/2-1/3，dn=1/n-1/(n+1)
相消后结果为1-1/(n+1)=n/(n+1)