Question

求解一道高中数学题？过程详细?

设椭圆X^2/a^2 + y^2/b^2 =1 与直线y=ax+1至多有一个交点，求a^2 + b^2的最大值？

Answer 1

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线y=ax+1至多有一个交点,可知直线y=ax+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1相切或相离
解方程组：
y=ax+1
x^2/a^2+y^2/b^2=1
得
b^2*x^2+a^2*y^2=a^2*b^2
b^2*x^2+a^2*(ax+1)^2=a^2*b^2
(b^2+a^4)*x^2+2a^3*x+a^2-a^2*b^2=0
直线y=ax+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1相切或相离,上方程的判别式△≤0,即
(2a^3)^2-4*(b^2+a^4)*(a^2-a^2*b^2)≤0
4a^6-4a^2*(b^2+a^4)*(1-b^2)≤0
4a^2*b^2*(a^4+b^2-1)≤0
4a^2*b^2≠0
a^4+b^2-1≤0
b^2≤1-a^4

a^2+b^2≤a^2+1-a^4=-(a^2-0.5)^2+1.25
令a^2=0.5,(a^2+b^2)的最大值=1.25