Question

二阶微分方程Euler方程

二阶微分方程Euler方程第八题 说实话 提示里的转化没看懂 自变量换了倒数怎么换 为什么是(a-1)dy/dt

Answer 1

x^2*y''+axy'+by=f(x)
令x=e^t，则t=lnx
y'=dy/dx=dy/dt*dt/dx=dy/dt*(1/x)
y''=d(dy/dx)/dx=d(dy/dx)/dt*dt/dx=d[dy/dt*(1/x)]/dt*(1/x)
=d^2y/dt^2*(1/x^2)+dy/dt*(-1/x^2)*dx/dt*(1/x)
=d^2y/dt^2*(1/x^2)-dy/dt*(1/x^2)
所以x^2*[d^2y/dt^2*(1/x^2)-dy/dt*(1/x^2)]+ax[dy/dt*(1/x)]+by=f(e^t)
d^2y/dt^2-dy/dt+ady/dt+by=f(e^t)
d^2y/dt^2+(a-1)dy/dt+by=f(e^t)