如图1-55,在△abc中,已知ab=9,ac=6,ad⊥bc于d,m为ad上任意一点,求证mb²-mc²的值。
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解:
MB^2 = BD^2 + MD^2 ①
MC^2 = MD^2 + DC^2 ②
AD^2 + BD^2 = AB^2 = 81 ③
AD^2 + DC^2 = AC^2 = 36 ④
③ - ④ 得
BD^2 - DC^2 = 45
① - ② 得
MB^2 - MC^2 = BD^2 - DC^2 = 45
MB^2 = BD^2 + MD^2 ①
MC^2 = MD^2 + DC^2 ②
AD^2 + BD^2 = AB^2 = 81 ③
AD^2 + DC^2 = AC^2 = 36 ④
③ - ④ 得
BD^2 - DC^2 = 45
① - ② 得
MB^2 - MC^2 = BD^2 - DC^2 = 45
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解:AD垂直于BC,所以:
MB^2-MC^2=(BD^2+MD)^2-(CD^2+MD^2)=BD^2-CD^2;
同理:AB^2-AC^2=(BD^2+AD^2)-(CD^2+AD^2)=BD^2-CD^2.
所以,MB^2-MC^2=AB^2-AC^2=9^2-6^2=45.
MB^2-MC^2=(BD^2+MD)^2-(CD^2+MD^2)=BD^2-CD^2;
同理:AB^2-AC^2=(BD^2+AD^2)-(CD^2+AD^2)=BD^2-CD^2.
所以,MB^2-MC^2=AB^2-AC^2=9^2-6^2=45.
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