Question

已知等比数列｛an｝的前n项和Sn=1/2×3∧（n+1）+c（c为常数）

已知等比数列｛an｝的前n项和Sn=1/2×3∧（n+1）+c（c为常数）若不等式λan≦3+S2n恒成立，则实数λ的最大值是

Answer 1

n=1时，a1=S1=½·3²+c=9/2 +c
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(½·3ⁿ⁺¹+c)-(½·3ⁿ+c)=3ⁿ
a2=3²=9，q=a(n+1)/an=3ⁿ⁺¹/3ⁿ=3
要a1是等比数列的项，a2/a1=q
a1=a2/q=9/3=3
9/2 +c=3
c=-3/2
λan≤3+S2n
λ·3ⁿ≤3+½·3²ⁿ⁺¹ -3/2
λ≤½(3ⁿ⁺¹+⅓ⁿ⁻¹)
(3ⁿ⁺²+⅓ⁿ)-(3ⁿ⁺¹+⅓ⁿ⁻¹)
=2(3ⁿ⁺¹-⅓ⁿ)
n≥1，3ⁿ⁺¹≥9，⅓ⁿ≤⅓，因此2(3ⁿ⁺¹-⅓ⁿ)恒>0
即随n增大，½(3ⁿ⁺¹+⅓ⁿ⁻¹)单调递增，要不等式恒成立，只需当n=1时不等式成立
λ≤½(3¹⁺¹+⅓¹⁻¹)
λ≤5
实数λ的最大值是5