Question

已知抛物线y=x的平方+mx-2m的平方

（1）求证：该抛物线与X轴有两个不同的交点
（2）当m=3时，试判断y轴上是否存在一点p（0，n），过点p做y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边），满足AP=2PB？若存在，则求出n的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

1）对于方程y=x²+mx-2m²=0，判别式△=m²+8m²=9m²>=0，所以方程在m≠0时与x轴始终有两个不同的交点。【m=0的情况根据lz提供的题目无法排除，是否漏了条件？】
2）显然A、B的坐标满足方程组：
y=x²+3x-18.....................................抛物线方程
y=n.................................................过点p的y轴的垂线方程
显然A、B的纵坐标为n，整理得到A、B横坐标需满足如下一元二次方程：
x²+3x-(n+18)=0
不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0<x2，根据题意有：|x1|=2|x2|，即x1=-2x2；
又由上述一元二次方程根与系数的关系有：x1+x2=-3
比较两式解得：x1=-6，x2=3
既然所求的x值存在说明存在这样的n值，再根据根与系数的关系：
-18=x1·x2=-(n+18)
解得：n=0