Question

已知,如图,rt△ABC中,∠ACB=90°CD⊥AB,垂足为D,AE平分

已知,如图,rt△ABC中,∠ACB=90°CD⊥AB,垂足为D,AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB,交BC于H,求证CF=BH

Answer 1

证明：
作HG⊥AB于G，FI⊥AC于I
∵CD⊥AB
∴∠B+∠DCB=90°
而∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°
∴∠ACD=∠B
∵FH∥AB，FD⊥AB，HG⊥AB
∴DF=GH
又AF平分∠CAB，FD⊥AB，FI⊥AC
∴FD=FI
∴DF=HG
而∠ACD=∠B，∠CIF=∠BGH
∴△CIF≌△BGH
∴CF=BH

Answer 2

在AB上截取AP=AC

在⊿ACF和⊿APF中，AC=AP ,<CAF=<PAF,AF=AF,

所以⊿ACF≌⊿APF

FP=CF

因为 CD垂直于AB

在直角三角形ADC和直角三角形FPC中，

<ACF=<PFD

所以，<PFD=<CAB,那么<FPD=<B

于是，FP//BC，而FH//AB

所以 FPBH是平行四边形

FP=BH

FP=CF

则

CF=BH