Question

关于数列极限定义的理解问题

高等数学对于数列极限的定义是
设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|xn-a|<ε都成立……

看了课本的例子和定义 还是搞不懂N、ε到底指什么，怎么理解啊……

Answer 1

首先，极限是一个很直观的概念——我相信你早就明白了；
其次，要将极限用数学语言表述出来是不那么容易的，所以你可以根据自己的理解给个定义，或者改变N和ε这两条件的顺序，就能找出一些反例了，肯定就能明白为什么ε在前，而N随ε变化而改变（一般是增加）——事实上N可理解为以ε为自变量的函数（N不必唯一确定，也不必足够小，完全凭你的意愿取值，只要能满足|xn-a|<ε这个条件就行）

Answer 2

ε是指一个任意小的给定的常数，数列极限的意思就是说，无论之前你给定了一个多么小的正数，都会存在某一项以及后面的所有项与a的绝对值都小于ε。

Answer 3

意思就是：存在一个无穷小，当自变量（N）无限去取值时（N为任意值，当然包括趋近于无穷），该无穷小接近于零。

Answer 4

ε是任意正数正数，用来衡量xn与a的接近程度。N是正整数，数列{xn}中下脚标大于N的项均落在U（a，ε）内。