Question

已知正项数列{an}满足an^2<an-an+1,求证:an<1\n

Answer 1

本题中a1是已知条件最起码应有a1>1这个条件，否则本题就是个错题
an^2<an-an+1,
由正项数列得an-an+1>0=====>an/an+1>1
an/an+1<1/an+1-1/an
==》1/an+1-1/an>1
1/a2-1/a1>1
1/a3-1/a2>1
1/a4-1/a3>1
........................
1/an-1/an-1>1
相加得1/an-1/a1>n-1
==>1/an>n+1/a1-1>n
===>an<1/n

Answer 2

你确定没给出a1的值！？

追问

恩恩恩、、、需要用数学归纳法证明、、谢谢拉~~~

追答

a[n+1]<a[n]*(1-a[n]),所以0<a1<1（根据已知正项数列{an}），满足，a[2]=a[1]-a[1]^2,可求出在0<a1<1处，a[2]的最大值为1/4，满足题意，假设命题成立，只需证明a[n]-a[n]^2<1/(n+1)就行了，又因为a[n]属于（0,1/n),并且a[n]-a[n]^2在（0,1/n)上单调递增，所以他的最大值为1/n-(1/n)^2,下面只需证明1/n-(1/n)^2<1/(n+1)就行了，即证明（n-1)/(n)^2<n+1,移项后即证明（n-1)*(n+1)<n^2,此式明显成立