Question

如图,在直角坐标系中,二次函数y=x^2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧

如图,在直角坐标系中,二次函数y=x^2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。
1.求这个二次函数的表达式
2.连接PO、PC，并把三角形POC沿CO翻折，得到四边形POP`C,那么是否存在点P，使四边形POP`C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由
3.当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积

Answer 1

。

Answer 2

1.
f（0）=c=-3
f（3）=9+3b-3=0，b=-2
这个二次函数的表达式为y=x^2-2x-3
2，设P点坐标为（x0，x0^2-2x0-3） ，P'（-x0，x0^2-2x0-3）
0＜x0＜3
OP²=x0²+（x0^2-2x0-3）²
P'C²=x0²+（x0^2-2x0）²
如果四边形POP`C为菱形 OP²=P'C²，
x0²+（x0^2-2x0-3）²=x0²+（x0^2-2x0）²
2X0²-4x0-3=0，x0=-1/2或者x0=3
x0=-1/2时，P点在抛物线上C点的左侧，不满足条件，x0=3的话，以P'的横坐标为-3，P'PO都在X轴上，与C构不成四边形，因此不存在这样的P点
3，四边形ABPC的面积=S△CAB+S△CBP
x^2-2x-3=0，x1=3，x2=-1，x1-x2=4
CB所在的直线方程为y=x-3
P点到CB的距离d=绝对值（x0-x0^2+2x0+3-3）/根号2=绝对值（-x0^2+3x0）/根号2
当x0=3/2时，d最大，最大值为9/4根号2
四边形ABPC的最大面积=S△CAB+S△CBP=4*3/2+1/2（3根号2*9/4根号2）=75/8