Question

如图,在直角坐标系中,二次函数y=x^2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧

如图,在直角坐标系中,二次函数y=x^2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。
1.求这个二次函数的表达式
2.连接PO、PC，并把三角形POC沿CO翻折，得到四边形POP`C,那么是否存在点P，使四边形POP`C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由
3.当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积

Answer 1

解：（1）将B、C两点的坐标代入得（2分）
解得：{b=-2c=-3；
所以二次函数的表达式为：
y=x2-2x-3（3分）

（2）存在点P，使四边形POPC为菱形；
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
连接PP′，则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=32
∴y=-32；（6分）
∴x2-2x-3=-32
解得x1=2+102，x2=2-102（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（2+102，-32）（8分）

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
易得，直线BC的解析式为y=x-3
则Q点的坐标为（x，x-3）；
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=12AB•OC+12QP•OF+12QP•BF
=12×4×3+12(-x2+3x)×3
=-32(x-32)2+758（10分）
当x=32时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为(32，-154)，四边形ABPC的面积的最大值为758．

Answer 2

1. 将B。C两点坐标带入原方程得
9+3b+c=0
c=—3 得b=—2 c=—3 得y=x^2-2x-3
2. 设p点坐标（x。y）po=pc 得x^2+y^2=x^2+（y+3）^2 得6y+9=0 y=-3/2
将y值代入原方程，x=（正负根号2.5）+1 因为x >0，所以x=1+根号2.5
3. 设面积为s 依题意s=2（1/2乘以3乘以x） x取3最大
所以最大面积为9 p坐标（3.0）