如图,在正方形ABCD中,点E在BC上,AF平分∠EAD交CD于点F,求证:AE=BE+DF
图在http://zhidao.baidu.com/question/249118104.html...
图在http://zhidao.baidu.com/question/249118104.html
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证明:如图,做FG⊥AE交AE于G。
设DF=x,BE=y,
则有,AB=AD=a,EC=a-y,FC=a-x;
在直角三角形AGF和ADF中,
因为,AF平分∠EAD交CD于点F,
所以,<GAF=<DAF,又AF=AF,
所以,△AGF与△ADF为全等三角形,
所以,AG=a,GF=x,GE=AE-AG
在△ABE中,有AE=根号下(a2+y2)***此处指a的平方,下同****
在直角三角形FGE中,GE2+GF2=EF2,即(AE-a)2+x2
又在三角形ECF中,EF2=EC2+FC2,即EF2=(a-y)2+(a-x)2;
综上,可得 (根号下(a2+y2)-a)2+x2=(a-y)2+(a-x)2
可得,x+y=根号下(a2+y2)=AE,
即AE=BE+DF。
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设∠DAF=θ,则∠AEB=2θ
则BE+DF=ABcot2θ+ADtanθ=AB[(1-tan^2 θ)/2tanθ+tanθ]
=AB/sin2θ=AE
万能公式太无耻了...
则BE+DF=ABcot2θ+ADtanθ=AB[(1-tan^2 θ)/2tanθ+tanθ]
=AB/sin2θ=AE
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