Question

数学 一元二次方程根与系数的关系——韦达定理1

已知x1,x2为一元二次方程4kx^2-4kx+k+1=0的两个实数根。
求使得x1/x2+x2/x1-2为整数的实数k的整数值。

Answer 1

解答：
因为X1,X2为一元二次方程4kx^2-4kx+k+1=0的两个实数根
所以：判别式=16k^2-16k(k+1)>=0，解得：k<=0
由根与系数的关系可知：X1+X2=1，X1X2=(k+1)/4k
而X1/X2+X2/X1-2=[(X1)^2+(X2)^2]/(X1X2)-2=(X1+X2)^2-2X1X2]/(X1X2)-2
=(X1+X2)^2/(X1X2)-4=1/[(K+1)/4K]-4=-4/(k+1)为整数，则：k+1为4的因数
即：k+1为-1,-2,-4,1,2,4,则：k为-2,,-3,-5,0,1,3
因为：k<=0，所以：k的整数值可以为：-2,-3,-5,0四个值

追问

为什么k要小于等于0啊？

追答

这是因为该一元二次方程有实数根
注意韦达定理只是管根与系数的关系，但不保证一定有实数根，所以必须在满足判别式大于等于0时，才有实数根