Question

已知a>0,设命题p:函数y=a^x在R上单调递减,q:设函数y=2x-2a(x>=2a)并且y=2a(x<2a),

函数y>1恒成立，若p∧q为假,p∨q为真，求a的取值范围

Answer 1

命题p:函数y=a^x在R上单调递减---> 0<a<1
命题q:设函数y=2x-2a(x>=2a)并且y=2a(x<2a),函数y>1恒成立.
x<2a时, y=2a>1--> a>1/2
x>=2a时, y=2x-2a为增函数，最小值为y(2a)=4a-2a=2a>1---> a>1/2
因此若q成立，则有:a>1/2
p∨q为真, 即上两式至少一个成立。
p∧q为假, 即两者无交集，则只能取a>=1,但指数函数不能取a=1, 因此只能取a>1
所以a的取值范围是a>1

Answer 2

已知a>0,设命题p:函数y=a^x在R上单调递减,q:设函数y=2x-2a(x>=2a)并且y=2a(x<2a),
函数y>1恒成立
若p∧q为假,p∨q为真
p真,q为假,(有:0<a<1)

p为假,q真,(有:a>1/2)

有0<a<1,且a>1/2
故1/2<a<1.