Question

求：关于均值不等式的证明

要数学归纳法的。最好是word文档，谢谢！

Answer 1

均值不等式为:√xy<=(x+y)/2,其中x,y>0,且“=”成立当且仅当x=y
证明：
(x-y)^2=x^2+y^2+2xy-4xy>=0
故(x+y)^2>=4xy，因为 x,y>0,开方即得：
√xy<=(x+y)/2,且易知，等号成立当且仅当x=y

Answer 2

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)n≥An＋nAn－1B。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)n≥a1a2…an。
当n＝2时易证；
假设当n＝k时命题成立，即
((a1＋a2＋…＋ak )／k)k≥a1a2…ak。那么当n＝k＋1时，不妨设ak＋1是a1，a2 ，…，ak＋1中最大者，则
k ak＋1≥a1＋a2＋…＋ak。
设s＝a1＋a2＋…＋ak，
((a1＋a2＋…＋ak＋1)／(k＋1))k+1
＝(s／k＋(k ak＋1－s)／(k(k＋1)))k+1
≥(s／k)k+1＋(k＋1)(s／k)k(k ak＋1－s)／k(k＋1) 用引理
＝(s／k)k ak＋1
≥a1a2…ak＋1。用归纳假设