Question

高数，问题求解，谢谢

Answer 1

Answer 2

分析，方法很多，今天心情好，都给你用用！

解：

1°（夹逼综合应用）

∵

|(x^3+y^4)/(x^2+y^2)|≥0

|(x^3+y^4)/(x^2+y^2)|≤|x^3/(x^2+y^2)|+|y^4/(x^2+y^2)|

=|x|·|x^2/(x^2+y^2)|+|y^2|·|y^2/(x^2+y^2)|

≤|x|+|y^2|

显然：lim(x,y→0) |x|+|y^2|=0

根据夹逼准则：

 lim(x,y→0) |(x^3+y^4)/(x^2+y^2)| =0

由极限唯一性，可知：

 lim(x,y→0) (x^3+y^4)/(x^2+y^2) =0=f(0,0)

∴连续

2°（二元函数洛必达法则）

 f(x,y)=(x^3+y^4)/(x^2+y^2)=f(x,y)

 lim(x,y→0)f(x,y)

= lim(x,y→0) (3x²dx+4y³dy)/(2xdx+2ydy)

= lim(x,y→0) (3x³+4y^4)/(2x²+2y²)

= 2lim(x,y→0)(x^3+y^4)/(x^2+y^2) -[x³/(x^2+y^2)]  

=2lim(x,y→0) f(x,y) - [x³/(x^2+y^2)]

0≤|x³/(x^2+y^2)|=|x|·|x²/(x²+y²)|≤|x|

∴

lim(x,y→0)f(x,y)

=2lim(x,y→0)f(x,y)

2>1

因此：

lim(x,y→0)f(x,y) =0=f(0,0)

∴连续

fx'|(0,0)=[(3x^2)(x^2+y^2)-2x·(x^3+y^4)]/(x^2+y^2)²=0

fy'|(0,0)=[(4y^3)(x^2+y^2)-2y·(x^3+y^4)]/(x^2+y^2)²=0