Question

高一数列问题

设正项等差数列{an}(d≠0)的前n项和为sn.am,ak,an是数列{an}中满足an-ak=ak-am的任意项.
(1)求证：m+n=2k
(2)若√sm,√sk,√sn也成等差数列，且a1=1,求数列{an}的通项公式
(3)求证：1/Sm+1/Sn>=2/Sk

Answer 1

解：
(1)
设公差为d
an=ak+(n-k)d
am=ak+(m-k)d
∵an-ak=ak-am
∴ak+(n-k)d-ak=ak+(m-k)d-ak
n-k=m-k
m+n=2k

(2)
设√Sm ，√Sk ，√Sn是数列{cn+d}中的三项，同时Sn是等差数列an的前n项和。
则Sn=An^2+bn=(cn+d)^2
c=A,d=0,b=0.所以Sn=An^2,代入a1=1,则A=1.
故an=Sn-S(n-1)=2n-1

(3)
=> 1/Sm+1/Sn≥2/Sk
=> (Sn+Sm)/Sm*Sn≥2/Sk
又m+n=2k；am+an=2ak
=> mn(a1+am)(a1+an)<=[k(a1+ak)]^2
=> (2k)^2=(m+n)^2≥4mn
=> (a1+am)(a1+an)<=(a1+ak)^2
=> a1(an+am)+aman<=2a1ak+ak^2
=> aman<=ak^2
所以Sm*Sn<=Sk ^2
即(Sn+Sm)≥2Sk
展开后化简：
(n-m)am≥(n-m)an
因为正项等差数列，所以d>0
若n-m>0,则am>an,原不等式成立。
若n-m<0,则am<an,原不等式也成立。
综上所述
1/Sm+1/Sn≥2/Sk

追问

对第2个问题的回答好像不对。能给出具体的步骤吗？

追答

（2）等差数列求和通式Sn=pn^2+qn
若根号Sm 根号Sk 根号Sn成等差
2k=m+n
2√(pk^2+qk)=√(pn^2+qn)+√(pm^2+qm)
得q=0
p≥0
Sn=pn^2
an=Sn-Sn-1
an=2pn-p,p∈[0,＋∞）
由a1≠a2，d≠0
则p≠0
an=2pn-p,p∈(0,＋∞）
现在对了吗 呵呵

追问

能解释下为什么q=0?这步不是很清楚。能不能给出过程。谢谢！

追答

因为2k=m+n
2√(pk^2+qk)=√(pn^2+qn)+√(pm^2+qm)啊
所以
q=0
这全是计算的呵呵，没什么特别难的
自己算一下就出来了呵呵

追问

q=0，我还是不明白如何得出来的。能不能将计算的过程写出来。先谢谢了！你提到“没什么特别难的”，但我确实没看出来。是把k用m和n表示吗？但如何开根号呢？我算了好几天也没算出来。

追答

好吧呵呵
因为2k=m+n，所以k=（m+n）/2，
代入2√(pk^2+qk)=√(pn^2+qn)+√(pm^2+qm)
等实即为2√(p【（m+n）/2】^2+q【（m+n）/2】)=√(pn^2+qn)+√(pm^2+qm)
两边同时开根号，则等式为：
4（p【（m+n）/2】^2+q【（m+n）/2】)=(pn^2+qn)+(pm^2+qm)+2√(pn^2+qn)*√(pm^2+qm)
然后再把2√(pn^2+qn)*√(pm^2+qm)放在等式的一边，即：
2√(pn^2+qn)*√(pm^2+qm)=4（p【（m+n）/2】^2+q【（m+n）/2】)-【(pn^2+qn)+(pm^2+qm)】
再平方，就能得出q=0了，一般来说，等式两边都有根号的大多是这么解

追问

只有一个等式，但有4个未知数，p, q, m和n。如何能求出q=0.我感觉这种方法好像不对！
你能给出求q=0的详细过程吗？谢谢！

追答

哎呀，我粗心了
把2k=m+n代入
2√(pk^2+qk)=√(pn^2+qn)+√(pm^2+qm)
之后，就可以直接看出来
q=0了，你想啊
q只能=0，否则等式不成立的

Answer 2

1an-ak=ak-am所以an+am=2ak
因为an为等差数列所以
an=a1+（n-1）d，am=a1+（m-1）d
ak=a1+（k-1)d
整理得m+n=2k