Question

画出积分区域，并计算下列二重积分 求第六小题详细过程（包括图）

谢谢了

Answer 1

第一步：绘制函数图形。xy=1在第一象限内过(1/2,2)、(1,1)、(2,1/2)点的曲线；而y=x过(0,0)、(1,1)点的直线。积分区域为x=1/2与前面的曲线、直线围成的区域。如图：
第二步：积分上下限与积分次序。经观察，先积dy后积dx更好。x的积分区间为[1/2,1]，y的积分区间为[x,1/x]。
第三步：先求1/y^2dy在[x,1/x]上的定积分，结果为1/x-x；然后求x^2(1/x-x)dx在[1/2,1]上的定积分，即(x-x^3)dx在[1/2,1]上的定积分。
第四步：令F(x)=x^2/2-x^4/4,
F(1)=1/4,F(1/2)=7/64,定级分的结果为F(1)-F(1/2)=9/64