Question

概率题 求解答

A、B是同一样本空间的两个事件，已知P(AB)=1/5，P(B非|A)=1/3，P（B|A非）=4/7 求 P(A)、P(B)
随机变量X的概率密度函数fX（x）=1/π（1+x方），Y=X方，证明随机变量Y的概率密度函数为 fY(y)= 1/π根号Y（1+y） y>0 ; 0 y<0

Answer 1

（1）A、B是同一样本空间的两个事件，已知P(AB)=1/5，P(B非|A)=1/3，P(B|A非)=4/7， 求 P(A)、P(B)。

（2）随机变量X的概率密度函数f_X (x) =1/[π*(1+x^2)]，Y=X^2，证明随机变量Y的概率密度函数为
fY(y)=
1/[π*(√y)*(1+y)], y>0 ;
0 y<0。

解：（1）用A^c表示A的互补事件。
因为P(B^c|A)=1/3，所以P(B|A)=1-P(B^c|A)=2/3，因为P(B|A)=P(AB)/P(A)，所以P(A)=P(AB)/P(B|A)=3/10。
P(A^c)=1-P(A)=7/10。
P(B)=P(AB)+P(B*A^c)=P(BA)+P(B|A^c)*P(A^c)
=1/5+4/7*7/10=3/5。

（2）先求Y=X^2的分布函数F(y)。
当y≤0时，F(y)=0；故y<0时，密度函数f_Y (y)=F'(y)=0。
当y>0时，F(y)=∫f_X (x) *dx（x=-√y, .. √y）
=∫1/[π*(1+x^2)]*dx（x=-√y, .. √y）
=1/π*arctan(x)（x=-√y, .. √y）
=2/π*arctan(√y) ；
故y>0时，密度函数f_Y (y)=F'(y)=2/π*d(arctan(√y))/dy
=2/[π*(1+y)]*1/(2√y）
=1/[π*(1+x^2)]。
当y=0时，F(y)的导数不存在。

Answer 2

1.P(AB)=P(B|A)P(A)=[1-P(B*|A)]P(A)=[1-1/3]P(A)=1/5, 所以P(A)=3/10
P(AB)=P(A|B)P(B)=[1-P(A*|B)]P(B)=P(B)-P(A*|B)P(B)=P(B)-P(B|A*)P(A*)
=P(B)-(4/7)(7/10)=1/5 所以,P(B)=3/5
2.证明: 因为 FY(y)=P(Y<=y)=P(X方<=y)=P(-√y<=X<=√y)=FX(√y)-FX(-√y)
所以 fY(y)=F'Y(y)=F'X(√y)*(1/2√y)-F'X(-√y)*(-1/2√y)
=fX(√y)*(1/2√y)-fX(-√y)*(-1/2√y)=(1/π√y)(1+y)