Question

设直线L1:X-2Y-1=0,直线L2 :2X+Y=0,P(1.2).P1.P2分别在直线L1.L2上且关于P点对称,求直线P1.P2的方程。

答案是x+3y-7=0

Answer 1

注意: 对於解几的题目, 建议先作图分析.

方法一 (一般方法)
解: 设P1, P2的坐标分别为 (x1, y1), (x2, y2)
且∵P1, P2分别在直线L1,L2上, ∴它的坐标, 满足方程.
得 (x1) - 2(y1) -1 = 0, 2(x2) + (y2) = 0

∵P1,P2关於P点对称, ∴P点为P1P2的中点
得 [(x1) + (x2)]/2 = 1, [(y1) + (y2)]/2 = 2 (中点坐标公式)

综合上面, 得到四条方程: (x1) - 2(y1) -1 = 0
2(x2) + (y2) = 0
(x1) + (x2) = 2
(y1) + (y2) = 2

联立得P1(17/5, 6/5), P2(-7/5, 14/5)
P1P2方程: (y - 6/5)/(14/5 - 6/5) = (x - 17/5)/(-7/5 - 17/5)
化简得 x + 3y - 7 = 0

方法二 (特殊法)
解: 设L1与L2的交点为C
从图像, 可很快猜测得 三角形 L1CL2为等腰直角三角形 (需证明, 颇繁复, 可试想想)

则 PC ⊥ P1P2 (关键利用点斜式求P1P2方程)

联立L1, L2的方程, 解交点C
x - 2y -1 = 0
2x + y = 0
解得C(1/5, -2/5)

PC斜率: k_PC = (2 + 2/5)/(1 - 1/5) = 3

P1P2斜率: k_P1P2 = -1/k_PC = -1/3 (∵PC ⊥ P1P2, ∴k_PC * k_P1P2 = -1)

则P1P2方程: y - 2 = (-1/3) (x - 1) (P1P2过点P, 利用点斜式)
化简得 x + 3y - 7 = 0