Question

求助……数学高手

问题如图……求具体过程……

Answer 1

已知抛物线x²=4y，圆C：x²+(y-2)²=4，已知M(xo，yo)(xo>0，yo>0)为抛物线上的动点；
①若yo=4，求过点M的圆的切线方程；
②若yo>4，求过点M的圆的两条切线与x轴围成的三角形的面积S的最小值。
解：①M在抛物线上，当xo=4时yo=4，因此M的坐标为(4，4)，设过M的切线方程为y=k(x-4)+4
=kx-4k+4，即kx-y-4k+4=0.............(1)
切线(1)到圆心(0，2)的距离d=︱-2-4k+4︱/√(1+k²)=2，︱2-4k︱=2√(1+k²)，平方之得：
4-16k+16k²=4(1+k²)，12k²-16k=4k(3k-4)=0，故k₁=0；k₂=4/3；代入(1)式即得切线方程为：
y=4，或y=(4/3)x-16/3+4=(4/3)x-4/3，即4x-3y-4=0.
②若yo>4，则xo>4，此时仍设过M(xo，xo²/4)的切线方程为y=k(x-xo)+xo²/4=kx-kxo+xo²/4
即4kx-4y-4kxo+xo²=0...........................(2)
切线(2)到圆心(0，2)的距离d=︱-8-4kxo+xo²︱/√(16+16k²)=2
即有︱-8-4kxo+xo²︱=2√(16+16k²)，平方之得64+16k²xo²+xo⁴+64kxo-16xo²-8kxo³=4(16+16k²)
化简得：(16xo²-64)k²-(8xo³-64xo)k+xo⁴-16xo²=0
即有 (4xo-8)(4xo+8)k²-8xo(xo²-8)k+(xo²-4xo)(xo²+4xo)=0
分解因式得：[(4xo-8)k-(xo²-4xo)][(4xo+8)k-(xo²+4xo)]=0
故得k₁=(xo²-4xo)/(4xo-8)；k₂=(xo²+4xo)/(4xo+8).
代入(2)式即得切线方程为：
[4(xo²-4xo)/(4xo-8)]x-4y-[4(xo²-4xo)/(4xo-8)]xo+xo²=0.............(3)
[4(xo²+4xo)/(4xo+8)]x-4y-[4(xo²+4xo)/(4xo+8)]xo+xo²=0...........(4)
设切线(1)与x轴的交点为A，其坐标为A(x₁，0)，那么令(3)式中的y=0，经化简即得：
x₁=-2xo/(xo-4)。
设切线(4)与x轴的交点为B，其坐标为B(x₂，0)，那么令(4)式中的y=0，经化简即得：
x₂=2xo/(xo+4).
于是︱AB︱=︱x₂-x₁︱=2xo/(xo+4)+2xo/(xo-4)=4xo²/(xo²-16)
△MAB的面积S=(1/2)︱AB︱yo=(1/2)[4xo²/(xo²-16)](xo²/4)=(1/2)[xo⁴/(xo²-16)]
=(1/2)[(xo²+16)+256/(xo²-16)]=(1/2)[(xo²-16)+256/(xo²-16)+32]
=16+(1/2)[(xo²-16)+256/(xo²-16)]≧16+(1/2)(2√256)=16+16=32
当且仅仅当xo²-16=256/(xo²-16)，即(xo²-16)²=256，xo²-16=16，xo²=32，xo=4√2时等号成立。
即当xo=4√2时，过点M(4√2，8）的圆的两条切线与x轴围成的三角形的面积S最小，Smin=32.

Answer 2

看不清图啊

追问

能跟你在线聊吗……

追答

873963389我的qq

Answer 3

hehe我大学数学也没学好