Question

解微分方程时1/x积分

为什么解微分方程时1/x积分有时候加绝对值有时候不加绝对值？

Answer 1

为什么解微分方程时1/x积分有时候加绝对值有时候不加绝对值？
解：当x>0时，由于d(lnx)/dx=1/x，∴∫(1/x)dx=∫d(lnx)=lnx+C；(x>0).............(1)
当x<0时，由于d[ln(-x)]/dx= (-x)′/(-x)=-1/(-x)=1/x，∴∫(1/x)dx=∫dln(-x)=ln(-x)+C；(x<0)
因此不论x>0或x<0，我们有统一的公式：∫(1/x)dx=ln︱x︱+C；(x>0或x<0)
由于函数lnx的定义域就是x>0，当x<0时用公式(1)自然要取x的绝对值，即用(-x)代入。所以在求
不定积分和求微分方程的通解时，为了解化运算，常常把绝对值符号省去不写，只是在求定积分
时，因为必须求出值来，才加上绝对值符号。
例1。求微分方程(x²+y²)dx-xydy=0的通解
解：由原式得dy/dx=(x/y)+(y/x)..............................(1)
令y/x=u，则y=ux，于是dy/dx=u+x(du/dx)，代入(1)式得：
u+x(du/dx)=(1/u)+u，即有x(du/dx)=1/u，分离变量得udu=(1/x)dx，积分之得：
u²/2=lnx+C₁，u²=2lnx+2C₁，将u=y/x代入即得通解：y²=x²(2lnx+C)
在这里按惯例，不加绝对值符号，但把通解写成y²=x²(2ln︱x︱+C)可不可以？当然可以，而且很
好，只是给作题人添麻烦了！
例2。求微分方程(x³+y³)dx-3xy²dy=0的通解
解：dy/dx=(x³+y³)/3xy²=(1/3)[(x/y)²+(y/x)]...............(1)
令y/x=u，则y=ux，dy/dx=u+x(du/dx)，代入(1)式得u+x(du/dx)=(1/3)[(1/u²)+u]
即有2u+3x(du/dx)=1/u²，1/u²-2u=3x(du/dx)，(1-2u³)/u²=3x(du/dx)，分离变量得：
u²du/(1-2u³)=dx/3x，即-(1/6)d(1-2u³)/(1-2u³)=dx/3x，积分之得：
-(1/6)ln(1-2u³)=(1/3)[lnx+ln(1/C₁)=(1/3)ln(x/C₁)
即有ln(1-2u³)=-2ln(x/C₁)=ln[(x/C₁)^(-2)]=ln[C²₁/x²]，即有1-2u³=C²₁/x²
将u=y/x代入得通解：1-2(y/x)³=C/x²，或写成：y³=(1/2)(x³-Cx).
例3。求定积分[-e，e²]∫(1/x)dx=[ln︱x︱] [-e，e²]=2-1=1.

Answer 2

看x的定义域，首先x不可能既定义于R+也定义R-。对于定义于R-的，需要为ln-x，否则为lnx，加绝对值只是对两者的统一表示，不是表示它在R上定义

追问

能不能请您以这两道题为例子讲一下为什么啊
(x^2+y^2)dx-xydy=0
(x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0
习题12-3第一题的3、4小题。

Answer 3

可能是x的积分区间不一样因为1/x积出来是lnx,此时需要x>0,如果x的取值区间是>0的就不需要了反之需要

追问

能不能请您以这两道题为例子讲一下为什么啊
(x^2+y^2)dx-xydy=0
(x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0
习题12-3第一题的3、4小题。

追答

首先设y/x=z,dy=xdz+zdx,原式变形为zdz=1/xdx,1/2*z.^2=ln|x|+c,
下面那个也是。z.^3=ln|x|+c

Answer 4

当x>0的时候不用加绝对值,当x<0的时候就要加绝对值,给你举个例子
有一个函数f(x)=(根号x)+(1/x的积分).我们已经从题目中看出x必须要大于0了.这时对1/x的求导就不需要加绝对值了
再来个函数g(x)=1/x的积分,那么这道题我们不知道x是正还是负,这时就要加绝对值了

追问

能不能请您以这两道题为例子讲一下为什么啊
(x^2+y^2)dx-xydy=0
(x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0
习题12-3第一题的3、4小题。

追答

难道就不会一下子问完吗，追问后又是两道题，最烦这种了

追问

对不起了，以后我尽量一次问完。

Answer 5

如果x是大于0，则不用加绝对值
否则不能判断x的符号时，需要加绝对值

追问

能不能请您以这两道题为例子讲一下为什么啊
(x^2+y^2)dx-xydy=0
(x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0
习题12-3第一题的3、4小题。