Question

在△ABC中,A，B，C对应的边分别为a，b，c,且(sinA)^2=sinBsinC

（1）若2a=b+c,试判断△ABC的形状
(2)求y=(sinA)^2+2sinAcosA+3(cosA)^2的最大值
求过程 好的加分

Answer 1

根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC， 可知a^2=bc
(1)由这两个方程可以得b+c-2(bc)^0.5=0，即（b^0.5-c^0.5）^2=0，所以b=c,a=2^0.5b，故为等腰直角三角形。不会打根号，用0.5次方代替了= =
(2)倍角公式sin2A=2sinAcosA,cos2A=2cosA^2-1,以及sinA^2+cosA^2=1可得
y=(sinA^2+cosA^2)+2sinAcosA+(2cosA^2-1)+1=2+cos2A+sin2A
另外(cosx+sinx)^2=cosx^2+sinx^2+2cosxsinx=1+sin2x，其最大值显然为2，开根号可以发现cos2A+sin2A最大值为根号2
所以y的最大值为（2+根号2）