Question

帮忙计算下二重积分，急，在线等，谢谢

Answer 1

由对称性，I = 4 ∫ ∫ D1 (x^2+y^2) dxdy D1: 0≤x≤1, 0≤y≤1
= 4 (1/3+1/3) = 8/3

追问

你的答案是对的，但是可以写清楚点过程吗，，不是先对其中一个积分再对另外一个积分吗，，还有为什么是加的呢？

追答

这是个矩形区域，化为二次定积分时，x的上下限是常数，y的上下限也是常数。
I = 4 ∫ ∫ D1 x^2 dxdy + 4 ∫ ∫ D1 y^2 dxdy
= 4 ∫ x^2dx * ∫dy + 4 ∫ dx * ∫ y^2 dy
= 4/3+4/3 =8/3
只要满足两点：1. 被积函数是 f(x)* g(y) 形式，f(x)、g(y)连续； 2. 积分区域是矩形。
二重积分就可以化为两个定积分的乘积。这是二重积分的特殊情形。
参考 http://zhidao.baidu.com/question/302803751.html

追问

我是奇怪x^2+y^2为什么分开来求而结果相加而不是相乘的呢？

追答

二重积分也有关于被积函数的可加性啊。

追问

书本上没有啊，可加性是指有界闭区域D可分开相加而已

追答

∫ ∫ [ a * f(x,y) + b * g(x,y) ] dxdy = a ∫ ∫ f(x,y) dxdy + b ∫ ∫ g(x,y) dxdy
你用哪一家的教材啊？这个性质不可能省的。

Answer 2

你是说化成这样∫(-1,1)∫(-1,1)(x²+y²)dxdy？

=∫(-1,1)[(x³/3+y²x)(-1,1)dy
=∫(-1,1)(2/3+2y²)dy
=(2y/3+2y³/3)(-1,1)
=4/3+4/3
=8/3