已知函数f(x)=ax³bx²cx+d且函数f(x)的图像关于原点对称,其图象在x=3处的切线的方程为8x-y-18=0
②是否存在区间[m,n]，使得g(x)的定义域和值域均为[m,n]，且其解析式为f(x)的解析式？若存在，求出这样一个区间，若不存在说明理由 展开
已知函数f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d且函数f(x)的图像关于原点对称，其图象在x=3处的切线的方程为8x-y-18=0 。
（1）求f(x)的解析式。
（2）是否存在区间[m, n]，使得g(x)的定义域和值域均为[m, n]，且其解析式为f(x)的解析式？若存在，求出这样一个区间，若不存在说明理由。
解：
（1）因为函数f(x)的图像关于原点对称，故f(-x)=-f(x)对∀x∈R成立，所以偶次项系数为0，即b=d=0。（也可把f(-x)、-f(x)的表达式代入f(-x)=-f(x)，根据多项式恒等原理，x的各次项系数对应相等，即得b=d=0）。
故f(x)=a*x^3+c*x，f'(x)=3a*x^2+c。
因为函数图象在x=3处的切线的方程为8x-y-18=0，该方程中令x=3得，y=6，即切点为(3, 6)，即f(3)=6，
所以：3a*3^3+c*3=6， ………………①
切线的斜率为8，即f'(3)=8，
所以，3a*3^2+c=8， ………………②
①、②联立解得：a = 1/3, c = -1。
所以：f(x)=1/3*x^3-x。
（2）令f(x)=x，得1/3*x^3-x=x，1/3*x^3-2x=0，1/3*x(x^2-6)=0，
(x+√6)*x*(x-√6)=0，所以x=0或±√6。
取m=-√6, n=√6，在同一坐标系下分别作出y1=f(x)，y2=x的大致图像，从图像很容易看出，在区间[-√6, √6]上，f(x)的取值范围恰为[-√6, √6]。
故这样的区间[m, n]是存在的，[-√6, √6]即为其中一个。
（如果不借助于图像，可以算出函数g(x)=1/3*x^3-x，x∈[-√6, √6]的值域——除了需算出两个端点值外，还需算出两个极值，于是可得值域，恰为[-√6, √6]）。
[m, n]的取法并不唯一。至少还有两种情况。
令f'(x)=0得，两个驻点分别为x=±1。
f''(x)=2x，故x=-1时，f''(-1)<0，f(x)取得极大值f(-1)=2/3；x=1时，f''(1)>0，f(x)取得极小值f(1)=-2/3。
故区间[-√6, 2/3]与区间[-2/3, √6]也是满足条件的区间。
