Question

线性代数中关于“线性无关”定义问题

3.“必有”的含义就是必然条件? 定理:若Si“必有”Ni个无关的特征向量(其中Si是Ni重特征值)，则A有n个无关的特征向量； 这个定理中的“必有”两字也是必然条件?我觉得把“必”字去掉,意思没区别啊;

Answer 1

必须写“必有”，因为他要得到的效果是，要让前面那个等式成立，有且只有这么一种情况，就是所有的k都等于0。比如来看两个二维向量(1, 2)和(2, 4)，这两个向量是线性相关的，因为要使得：

k1 * (1, 2) + k2 (2, 4) = (0, 0)

这个等式成立，除了k1 = k2 = 0的时候，还可以是 k1 = 2, k2 = -1，因此这两个向量就不符合线性无关的定义，事实上你可以找出无说多个k的组合来让前面的等式成立。

再看(1, 2)和(1, 3)，等式

k1 * (1, 2) + k2 (1, 3) = (0, 0)

要成立，比须 k1 = k2 = 0，不存在其他的可能性，所以这两个向量是线性无关的。

如果你光说"有"，就变成废话了，因为k1 = k2 = ... = kn = 0必然会让前面那个等式成立。

上面所有的括号表示向量，向量的元素用逗号分开。 

线性相关，无关的概念最早是来源于线性方程组的，你看图的方程组就是这两个例子的翻版：

追问

“必有”的含义就是必然条件?
定理:若Si“必有”Ni个无关的特征向量(其中Si是Ni重特征值)，则A有n个无关的特征向量；
这个定理中的“必有”两字也是必然条件?我觉得把“必”字去掉,意思没区别啊;

Answer 2

k1α1+k2α2+...+ksαs = 0 (*)

当 k1=k2=...=ks=0 时, (*) 总是成立的.

问题在于: 是否存在一组不全为零的数 k1,k2,..,ks 使得 (*) 式成立! 这就引出了线性相关与线性无关两个对立的概念:

若存在一组不全为零的数 k1,k2,..,ks 使得 (*) 式成立, 则称向量组线性相关.
否则称向量组线性无关.

问题就在这个"否则"的理解. 也就是说只有当k1,k2,..,ks 全为0时, (*)式才成立.
所以才有了你给的定义的说法.

有疑问请追问或消息我.

之前回答过你的一个问题 http://zhidao.baidu.com/question/306977349.html
若搞定请采纳, 不要丢那里不管

追问

谢谢，我一会就去处理那个问题；
再请教一下：
“必有”的含义就是必然条件?
定理:若Si“必有”Ni个无关的特征向量(其中Si是Ni重特征值)，则A有n个无关的特征向量；
这个定理中的“必有”两字也是必然条件?我觉得把“必”字去掉,意思没区别啊;

追答

这里没区别!

追问

为啥一个“必有”和“有”有区别，一个会没？
本质的问题在哪？
谢谢亲~

追答

第1个"必有" : 也就是说只有当k1,k2,..,ks 全为0时, 才有 k1α1+k2α2+...+ksαs = 0
以此区别k1,k2,..,ks 不全为0时(*)式的成立

证明题目时, 一般是设k1α1+k2α2+...+ksαs = 0 ,
....由已知条件推出....
得 k1=k2=...=ks=0.
所以 向量组线性无关.

第2个"必有" 没必要.

Answer 3

当系数全为零时，向量组的线性组合一定等于0，向量组的“线性无关”强调的是当线性组合k1a1+k2a2+...+ksas=0时，只能是系数k1=k2=...=ks=0。换句话说，当系数不全为零时，k1a1+k2a2+...+ksas一定不等于零

Answer 4

其实楼主只要理解他的意思即可——“必有”强调的是“有且只有”的意思，也就是说只有系数均为0的情况下才会成立

追问

“必有”的含义就是必然条件? 定理:若Si“必有”Ni个无关的特征向量(其中Si是Ni重特征值)，则A有n个无关的特征向量； 这个定理中的“必有”两字也是必然条件?我觉得把“必”字去掉,意思没区别啊;

追答

“必有”的含义就是必然条件——答案是否定的，楼主想当然了！
如果你把“必”字去掉，结果是错误的！！！
你想想，如果是有系数为0，使的上式成立，从而线性无关，那么请问楼主“线性相关”你是怎么理解的？——线性相关在所有系数为0的情况下也成立啊！