Question

定义在R上的增函数f(x)对任意x·y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y）

（1）求f（0）的值
（2）求证：f（x）为奇函数
（3）若f（K·3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数K的取值范围

主要是第三问。要过程！

Answer 1

解：
(1)
令x=0 y=0
f(x+y)=f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
(2)
令y=-x
f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(x+y)=f(0)=0
f(-x)=-f(x)
函数为奇函数。
(3)
f(k×3^x)+f(3^x-9^x-2)<0
f(k×3^x)<-f(3^x-9^x-2)
f(k×3^x)<f(9^x-3^x+2) 这一步是由函数是奇函数得来。
函数是R上的增函数
k×3^x<9^x-3^x+2
9^x-(k+1)3^x+2>0
令3^x=t 3^x恒为正，t>0 不等式变为
t²-(k+1)t+2>0
对于任意t>0，不等式恒成立，则
(k+1)/2≤0
k+1≤0
k≤-1